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こちらのメモの補足です。 おまけとして、BCH (Baker-Campbell-Hausdorff) の公式の最初の部分を示します。

準備

行列\(\mathbf{A}\)、\(\mathbf{B}\)があるとする。 \(\exp(\mathbf{A})\)は行列指数関数であり、次のように定義される。

\[ \exp(\mathbf{A}) = \mathbf{I} + \mathbf{A} + \frac{1}{2!} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{3!} \mathbf{A}^3 + \cdots = \sum_{n = 0}^\infty \frac{\mathbf{A}^n}{n!} \]

また、\([\mathbf{A}, \mathbf{B}]\)はリー括弧積 (Lie bracket)であり、次のように定義される。

\[ [\mathbf{A}, \mathbf{B}] = \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \]

スカラー\(t\)の関数\(\mathbf{W}(t)\)があり、以下の関係が成り立つとする。

\[ \exp(\mathbf{W}(t)) = \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{W}(t) = \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})) \]

\(\mathbf{W}(t)\)は次のように、項\(\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)の総和として表されるとする。 \(\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)は、\(\mathbf{A}\)と\(\mathbf{B}\)を合計で\(n\)個含むような項を、まとめたものである。

\[ \mathbf{W}(t) = \sum_{n = 0}^\infty \mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \]

ただし、行列の対数\(\ln(\mathbf{X})\)は以下のように定義される。

\[ \ln(\mathbf{X}) = \left( \mathbf{X} - \mathbf{I} \right) - \frac{1}{2} \left( \mathbf{X} - \mathbf{I} \right)^2 + \frac{1}{3} \left( \mathbf{X} - \mathbf{I} \right)^3 + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} \left( \mathbf{X} - \mathbf{I} \right)^n \]

よって

\[ \begin{eqnarray} \mathbf{W}(t) &=& \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})) \\ &=& \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right) \\ && - \frac{1}{2} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^2 \\ && + \frac{1}{3} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \\ && - \frac{1}{4} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4 + \cdots \end{eqnarray} \]

以下では、最初に\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)\)から\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4\)までを計算する。 続いて、\(\ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}))\)から4次までの項(\(\mathbf{A}\)と\(\mathbf{B}\)を最大4つまで含む項)を取り出して、\(\mathbf{F}_0(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)から\(\mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)までを実際に計算する。

\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)\)の計算

\(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})\)は、4次の項まで展開すれば次のようになる。

\[ \begin{eqnarray} \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) &=& \left( \mathbf{I} + \mathbf{A} + \frac{1}{2!} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{3!} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{4!} \mathbf{A}^4 + \cdots \right) \\ && \left( \mathbf{I} + t \mathbf{B} + \frac{1}{2!} t^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{3!} t^3 \mathbf{B}^3 + \frac{1}{4!} t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \right) \\ &=& \mathbf{I} + \mathbf{A} + \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{24} \mathbf{A}^4 \\ && + t \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} \\ && + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && + \frac{1}{24} t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \end{eqnarray} \]

従って、\(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I}\)は、次のようになる。

\[ \begin{eqnarray} \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} &=& \mathbf{A} + \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{24} \mathbf{A}^4 \\ && + t \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} \\ && + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && + \frac{1}{24} t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \\ &=& \mathbf{A} + t \mathbf{B} \\ && + \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \\ && + \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \\ && + \frac{1}{24} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 + \frac{1}{24} t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \\ &=& \mathbf{U}_{11} + \mathbf{U}_{12} + \mathbf{U}_{13} + \mathbf{U}_{14} + \cdots \end{eqnarray} \]

\(\mathbf{U}_{11}\)、\(\mathbf{U}_{12}\)、\(\mathbf{U}_{13}\)、\(\mathbf{U}_{14}\)はそれぞれ、\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)\)の1次、2次、3次、4次の項である。

\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^2\)の計算

\((\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I})^2\)は、以下のように求められる(4次の項まで)。

\[ \begin{eqnarray} && (\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I})^2 \\ &=& \left( \mathbf{U}_{11} + \mathbf{U}_{12} + \mathbf{U}_{13} + \mathbf{U}_{14} + \cdots \right) \left( \mathbf{U}_{11} + \mathbf{U}_{12} + \mathbf{U}_{13} + \mathbf{U}_{14} + \cdots \right) \\ &=& \mathbf{U}_{11}^2 + \left( \mathbf{U}_{11} \mathbf{U}_{12} + \mathbf{U}_{12} \mathbf{U}_{11} \right) + \left( \mathbf{U}_{11} \mathbf{U}_{13} + \mathbf{U}_{12}^2 + \mathbf{U}_{13} \mathbf{U}_{11} \right) + \cdots \\ &=& \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \\ && + \Bigg\{ \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \\ && + \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \Bigg\} \\ && + \Bigg\{ \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \left( \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \\ && + \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \\ && + \left( \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \Bigg\} + \cdots \end{eqnarray} \]

これを順に計算すれば \[ \begin{eqnarray} && (\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I})^2 \\ &=& \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \\ && + \Bigg\{ \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \\ && \quad + \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \Bigg\} \\ && + \Bigg\{ \Bigg( \frac{1}{6} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \qquad + \frac{1}{6} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg) \\ && \quad + \Bigg( \frac{1}{4} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \qquad + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{4} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg) \\ && \quad + \Bigg( \frac{1}{6} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} \\ && \qquad + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 + \frac{1}{6} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg) \Bigg\} + \cdots \end{eqnarray} \]

項をまとめて

\[ \begin{eqnarray} && (\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I})^2 \\ &=& \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \\ && + \Bigg\{ \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \quad + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \Bigg\} \\ && + \Bigg\{ \frac{7}{12} \mathbf{A}^4 + \frac{7}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{5}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && \quad + \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + \frac{7}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \quad + \frac{1}{6} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \quad + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + \frac{7}{12} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg\} + \cdots \\ &=& \mathbf{U}_{22} + \mathbf{U}_{23} + \mathbf{U}_{24} + \cdots \end{eqnarray} \]

\(\mathbf{U}_{22}\)、\(\mathbf{U}_{23}\)、\(\mathbf{U}_{24}\)はそれぞれ、\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^2\)の2次、3次、4次の項である。

\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3\)の計算

続いて、\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3\)は、以下のようになる(4次の項まで)。

\[ \begin{eqnarray} && \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \\ &=& \left( \mathbf{U}_{22} + \mathbf{U}_{23} + \mathbf{U}_{24} + \cdots \right) \left( \mathbf{U}_{11} + \mathbf{U}_{12} + \mathbf{U}_{13} + \mathbf{U}_{14} + \cdots \right) \\ &=& \mathbf{U}_{22} \mathbf{U}_{11} + \left( \mathbf{U}_{22} \mathbf{U}_{12} + \mathbf{U}_{23} \mathbf{U}_{11} \right) + \cdots \\ &=& \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \\ && + \Bigg\{ \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \left( \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \right) \\ && \quad + \Bigg( \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \qquad + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \Bigg) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) \Bigg\} + \cdots \end{eqnarray} \]

これを順に計算すれば

\[ \begin{eqnarray} && \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \\ &=& \left( \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \right) \\ && + \Bigg\{ \frac{1}{2} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 \\ && \quad + t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \\ && \quad + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^4 \mathbf{B}^4 \\ && \quad + \mathbf{A}^4 + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \\ && \quad + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} \\ && \quad + t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \quad + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg\} + \cdots \end{eqnarray} \]

項をまとめて

\[ \begin{eqnarray} && \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \\ &=& \left( \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \right) \\ && + \Bigg\{ \frac{3}{2} \mathbf{A}^4 + 2 t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + 2 t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && \quad + \frac{3}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + 2 t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + 2 t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \quad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \quad + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg\} + \cdots \\ &=& \mathbf{U}_{33} + \mathbf{U}_{34} + \cdots \end{eqnarray} \]

\(\mathbf{U}_{33}\)、\(\mathbf{U}_{34}\)はそれぞれ、\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3\)の3次、4次の項である。

\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4\)の計算

最後に、\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4\)は、以下のようになる(4次の項まで)。

\[ \begin{eqnarray} && \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4 \\ &=& \left( \mathbf{U}_{33} + \mathbf{U}_{34} + \cdots \right) \left( \mathbf{U}_{11} + \mathbf{U}_{12} + \mathbf{U}_{13} + \mathbf{U}_{14} + \cdots \right) \\ &=& \mathbf{U}_{33} \mathbf{U}_{11} + \cdots \\ &=& \big( \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \quad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \big) \left( \mathbf{A} + t \mathbf{B} \right) + \cdots \\ &=& \big( \mathbf{A}^4 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \\ && \quad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} \big) \\ && + \big( t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \quad + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^4 \mathbf{B}^4 \big) + \cdots \\ &=& \mathbf{A}^4 + t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + t^4 \mathbf{B}^4 + \cdots \\ &=& \mathbf{U}_{44} + \cdots \end{eqnarray} \]

\(\mathbf{U}_{44}\)はそれぞれ、\(\left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4\)の4次の項である。

\(\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)の計算 (\(0 \le n \le 2\))

これらを\(\ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}))\)に代入する。

\[ \begin{eqnarray} \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})) &=& \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right) \\ && \quad - \frac{1}{2} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^2 \\ && \quad + \frac{1}{3} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^3 \\ && \quad - \frac{1}{4} \left( \exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B}) - \mathbf{I} \right)^4 + \cdots \\ &=& \left( \mathbf{U}_{11} + \mathbf{U}_{12} + \mathbf{U}_{13} + \mathbf{U}_{14} + \cdots \right) \\ && \quad - \frac{1}{2} \left( \mathbf{U}_{22} + \mathbf{U}_{23} + \mathbf{U}_{24} + \cdots \right) \\ && \quad - \frac{1}{3} \left( \mathbf{U}_{33} + \mathbf{U}_{34} + \cdots \right) \\ && \quad - \frac{1}{4} \left( \mathbf{U}_{44} + \cdots \right) + \cdots \\ &=& \sum_{n = 0}^\infty \mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \end{eqnarray} \]

0次から4次までの項を順に取り出して、\(\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)を計算すると、次のようになる。

\[ \mathbf{F}_0(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) = 0 \]

\[ \mathbf{F}_1(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) = \mathbf{U}_{11} = \mathbf{A} + t \mathbf{B} \]

\[ \begin{eqnarray} \mathbf{F}_2(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) &=& \mathbf{U}_{12} - \frac{1}{2} \mathbf{U}_{22} \\ &=& \frac{1}{2} \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 - \frac{1}{2} \left( \mathbf{A}^2 + t \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{B}^2 \right) \\ &=& \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} - \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A} \\ &=& \frac{1}{2} t \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) \\ &=& \frac{1}{2} t [\mathbf{A}, \mathbf{B}] \end{eqnarray} \]

\(\mathbf{F}_3(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)の計算

\[ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}_3(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \\ &=& \mathbf{U}_{13} - \frac{1}{2} \mathbf{U}_{23} + \frac{1}{3} \mathbf{U}_{33} \\ &=& \left( \frac{1}{6} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \right) \\ && - \frac{1}{2} \Bigg( \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \quad + \frac{1}{2} t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \Bigg) \\ && + \frac{1}{3} \big( \mathbf{A}^3 + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \quad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{B}^3 \big) \end{eqnarray} \]

項をまとめて

\[ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}_3(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \\ &=& \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{A}^3 + t \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \\ && + t \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && + t \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \\ && + t^2 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \mathbf{B}^3 \\ &=& \frac{1}{12} t \left( \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + \mathbf{B} \mathbf{A}^2 - 2 t \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \right) \\ &=& \frac{1}{12} t \big( \left( \mathbf{A} \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) - \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) \mathbf{A} \right) \\ && \quad - \left( t \mathbf{B} \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) - \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) t \mathbf{B} \right) \big) \\ &=& \frac{1}{12} [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, t \mathbf{B}]] - \frac{1}{12} [t \mathbf{B}, [\mathbf{A}, t \mathbf{B}]] \\ &=& \frac{1}{12} t [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] - \frac{1}{12} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] \end{eqnarray} \]

\(\mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)の計算

\[ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \\ &=& \mathbf{U}_{14} - \frac{1}{2} \mathbf{U}_{24} + \frac{1}{3} \mathbf{U}_{34} - \frac{1}{4} \mathbf{U}_{44} \\ &=& \left( \frac{1}{24} \mathbf{A}^4 + \frac{1}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 + \frac{1}{24} t^4 \mathbf{B}^4 \right) \\ && \quad - \frac{1}{2} \Bigg\{ \frac{7}{12} \mathbf{A}^4 + \frac{7}{6} t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{5}{4} t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && \qquad + \frac{1}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + \frac{7}{6} t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \qquad + \frac{1}{6} t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + \frac{1}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \qquad + \frac{1}{4} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{1}{2} t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{1}{6} t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + \frac{7}{12} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg\} \\ && \quad + \frac{1}{3} \Bigg\{ \frac{3}{2} \mathbf{A}^4 + 2 t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + \frac{3}{2} t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + 2 t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && \qquad + \frac{3}{2} t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + 2 t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + 2 t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \qquad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + \frac{3}{2} t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \qquad + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + \frac{3}{2} t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + \frac{3}{2} t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg\} \\ && \quad - \frac{1}{4} \Bigg\{ \mathbf{A}^4 + t \mathbf{A}^3 \mathbf{B} + t \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && \qquad + t \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + t^2 \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \qquad + t \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} + t^2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \\ && \qquad + t^3 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 + t^2 \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} + t^3 \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + t^4 \mathbf{B}^4 \Bigg\} \end{eqnarray} \]

これほど長大な足し算は人生で初めてかもしれない。 項をまとめて

\[ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \\ &=& \left( \frac{1}{24} - \frac{7}{24} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A}^4 + t \left( \frac{1}{6} - \frac{7}{12} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A}^3 \mathbf{B} \\ && \quad + t \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \mathbf{A} + t^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{5}{8} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 \\ && \quad + t \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A}^2 + t^2 \left( -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \\ && \quad + t^2 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \mathbf{A} + t^3 \left( \frac{1}{6} - \frac{7}{12} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{A} \mathbf{B}^3 \\ && \quad + t \left( -\frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B} \mathbf{A}^3 + t^2 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \\ && \quad + t^2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + t^3 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B}^2 \\ && \quad + t^2 \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 + t^3 \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B}^2 \mathbf{A} \mathbf{B} \\ && \quad + t^3 \left( -\frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B}^3 \mathbf{A} + t^4 \left( \frac{1}{24} - \frac{7}{24} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) \mathbf{B}^4 \\ &=& \frac{1}{24} t^2 \left( \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} + 2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} - \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 \right) \end{eqnarray} \]

これを次のように整理すれば

\[ \begin{eqnarray} && \mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 \left( \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \mathbf{B}^2 \mathbf{A}^2 - \mathbf{A}^2 \mathbf{B}^2 + 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \mathbf{B} \right) \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 \left( \mathbf{B} \left( \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \right) - \left( \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \mathbf{B} \mathbf{A}^2 \right) \mathbf{B} \right) \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, \mathbf{A}^2 \mathbf{B} - 2 \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{A} + \mathbf{B} \mathbf{A}^2] \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, \mathbf{A} \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) - \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right) \mathbf{A}] \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, \left( \mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} \right)]] \\ &=& -\frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]]] \end{eqnarray} \]

BCHの公式 (一部)

上記の\(\mathbf{F}_n(\mathbf{A}, t \mathbf{B})\)を使うと、\(\mathbf{W}(t)\)の最初の項は次のようになる。

\[ \begin{eqnarray} \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(t \mathbf{B})) &=& \mathbf{W}(t) \\ &=& \mathbf{F}_1(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) + \mathbf{F}_2(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) + \mathbf{F}_3(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) + \mathbf{F}_4(\mathbf{A}, t \mathbf{B}) + \cdots \\ &=& \mathbf{A} + t \mathbf{B} + \frac{1}{2} t [\mathbf{A}, \mathbf{B}] + \frac{1}{12} t [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] - \frac{1}{12} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] \\ && \quad - \frac{1}{24} t^2 [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]]] + \cdots \end{eqnarray} \]

\(t = 1\)とすれば次のように、BCH (Baker-Campbell-Hausdorff) の公式の最初の部分が得られる。

\[ \begin{eqnarray} \ln(\exp(\mathbf{A}) \exp(\mathbf{B})) &=& \mathbf{A} + \mathbf{B} + \frac{1}{2} [\mathbf{A}, \mathbf{B}] + \frac{1}{12} [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] - \frac{1}{12} [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]] \\ && \quad - \frac{1}{24} [\mathbf{B}, [\mathbf{A}, [\mathbf{A}, \mathbf{B}]]] + \cdots \end{eqnarray} \]